November 14, 2011
Friedrich Wehrung (Université de Caen)Grätzer posa en 1971 la question de la caractérisation des sous-treillis des treillis de Tamari (associaèdres). Le candidat naturel fut défini en 1972 par McKenzie, qui introduisit les treillis “bornés” (images homomorphes bornées de treillis libres, à ne pas confondre avec les treillis admettant un plus petit et un plus grand élément). Urquhart prouva en 1978 que tout treillis de Tamari (et donc également ses sous-treillis) est borné. Geyer conjectura en 1994 que tout treillis borné se plonge dans un treillis de Tamari.
Le but de cet exposé est de présenter notre réfutation récente de la conjecture de Geyer. Nous introduisons une famille infinie d’identités de théorie des treillis, satisfaites dans tous les treillis de Tamari mais pas dans certains treillis “bornés”. Parmi ces derniers, le treillis B(2,2) obtenu en doublant le sup de 2 atomes dans un treillis Booléen à 4 atomes, mais aussi P(4), le permutoèdre sur 4 lettres. En particulier, P(4) ne se plonge dans aucun treillis de Tamari.
Inversement, le treillis de Tamari sur n+1 lettres A(n) est un rétract du permutoèdre sur n lettres P(n). Cette propriété est également satisfaite par les “treillis Cambriens de type A”, dont A(n) est un cas très particulier. Le permutoèdre P(n) est un produit sous-direct de ses treillis Cambriens de type A. Nous utilisons ceci pour montrer que le treillis “borné” B(3,3) ne se plonge dans aucun permutoèdre. La preuve ne peut se faire, comme c’était le cas pour A(n), par une identité: en effet, B(3,3) est une image homomorphe d’un sous-treillis du permutoèdre P(12).
Un outil essentiel à toutes ces preuves est celui de mesure polarisée, qui donne une façon commode de manipuler les plongements dans les associaèdres (ou treillis Cambriens de type A).
URL du préprint: http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00577258